Olá @Aiano_Bemfica, tudo bem?
Claro, é possível utilizar o Tainacan de forma completamente privada. Você deverá criar usuários para os membros da sua equipe e eles terão que se logar no WordPress. Uma vez feito isso eles terão acesso às coleções e itens privados seja pelo painel administrativo seja na parte pública. Você também pode definir alguns níveis de permissão, embora sem muita granularidade. Falamos mais sobre eles aqui.
Os dados ficam organizados no seu sistema de arquivos do WordPress. No primeiro tópico dessa página falamos um pouco sobre onde exatamente estarão no seu servidor.
Não há uma maneira de se conectar automaticamente ao Google Drive, visto que eles tem uma API própria. Porém, há caminhos para se usar imagens externas como seu documento principal do item, mas isto costuma ser bem tortuoso porque a Google não facilita muito, como comentamos aqui.
No mais, se tiver outras dúvidas, fique à vontade!